Nhiều hàm được định giá vectơ, giống như hàm được định giá vô hướng, có thể được lấy vi phân bằng cách đơn giản là lấy vi phân những thành phần của hệ trục tọa độ Đề các. Vì vậy, nếu:

r ( t ) = f ( t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k {\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }

là một hàm được định giá vectơ thì

d r ( t ) d t = f ′ ( t ) i + g ′ ( t ) j + h ′ ( t ) k . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k} .}

Đạo hàm vectơ thừa nhận sự hiểu biết vật lý sau đây:nếu r(t) biểu thị vị trí của một hạt, thì đạo hàm là vận tốc của hạt:

v ( t ) = d r ( t ) d t . {\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}.}

Cũng như vậy, đạo hàm của vận tốc là gia tốc

d v ( t ) d t = a ( t ) . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}=\mathbf {a} (t).}

Đạo hàm riêng phần

Các đạo hàm riêng phần của một vectơ a đối với một biến vô hướng q được định nghĩa là[1]

∂ a ∂ q = ∑ i = 1 n ∂ a i ∂ q e i {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q}}\mathbf {e} _{i}}

với ai là thành phần vô hướng của a trong các hướng của ei. Nó cũng được gọi là các cosine chỉ hướng của a và ei hay của tích vô hướng. Các vectơ e1,e,2,e3 tạo thành  một cơ sở trực giao cố định trong hệ quy chiếu trong đó đạo hàm được lấy.

Đạo hàm thường

Nếu a được coi như là một hàm vectơ của một biến vô hướng, như thời gian t, thì phương trình trên giảm thành đạo hàm thời gian thường bậc 1 của a đối với t,

d a d t = ∑ i = 1 3 d a i d t e i . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}.}

Đạo hàm toàn phần

Nếu vectơ a là, một hàm của một số n của những biến vô hướng q,r (r = 1,...,n), và mỗi qr chỉ là một hàm của thời gian t, thì đạo hàm thường của a đối với t có thể được thể hiện trong một dạng được gọi là đạo hàm toàn phần, như

d a d t = ∑ r = 1 n ∂ a ∂ q r d q r d t + ∂ a ∂ t . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q_{r}}}{\frac {dq_{r}}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}.}

Một số các tác giả thích sử dụng chữ in hoa D để cho biết toán tử đạo hàm toàn phần, như trong D/Dt. Đạo hàm toàn phần khác với đạo hàm riêng phần thời gian trong đó đạo hàm toàn phần chịu trách nhiệm cho những thay đổi của a do thời gian sai của biến qr.